关于满足特定权重约束的二分图的带权匹配猜想验证请求

我在做作业的时候想到了这个猜想，但还没把它证出来——不过作业里我已经找到别的方法绕过去了。

设$n$为正整数，考虑一个带权二分图$G = U\sqcup V$，其中$|U|$的大小为$n+1$，$|V|$的大小为$n$。边$(u,v)$的权重记为$c_{u,v}$，所有权重均非负，且满足以下两个约束条件：

• 对任意$v\in V$，该顶点连接的所有边的权重之和为1，即$\sum_{u\in U} c_{u,v} = 1$
• 对任意$u\in U$，该顶点连接的所有边的权重之和不超过1，即$\sum_{v\in V} c_{u,v} \le 1$

设$m$是图中所有正权重里的最小值，请问是否存在这样的图，使得所有$u\in U$都满足$\sum_{v\in V} c_{u,v} > 1 - m$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kai Wang