阿涅西女巫曲线绕y轴旋转的旋转体体积计算疑问

最近在微积分课上带着学生做反常积分和旋转体体积的练习，我们先算了阿涅西女巫曲线 $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ 下方的无界区域面积，结果是 $\pi$，这个结论没问题。

接着作为拓展练习，我们用常规圆盘法把这条曲线绕x轴旋转，计算旋转体体积——这积分有点棘手，但最后算出来是 $\pi^2/2$，我查了些资料和用计算软件验证过，这个结果是对的。

出于好奇，我试着计算这条曲线绕y轴旋转的旋转体体积，把我知道的方法都用上了：

• 把函数反解过来，对 $y$ 积分的方法
• 用圆柱壳法对 $x$ 积分的方法

可不管哪种方法，得到的积分都是发散的。我有点困惑：明明这条曲线下方的面积是有限的，怎么绕y轴转出来的体积会是无穷大呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mikem302