关于范畴等价与双向全忠实函子的逆命题问题

嘿，这个问题问得特别好！先帮你把已知的结论再理清楚：
如果两个范畴$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$是等价的，那它们确实能双向嵌入——也就是存在从$\mathcal{C}$到$\mathcal{D}$的全忠实函子，同时也存在从$\mathcal{D}$到$\mathcal{C}$的全忠实函子。毕竟范畴等价的核心就是有一对互拟逆的函子，而等价函子本身就满足全忠实的性质，这部分你说的完全没错。

但反过来，双向存在全忠实函子并不意味着两个范畴一定等价，这里给你举个特别直观的反例：

• 设$\mathcal{C}$是标准的集合范畴$\mathbf{Set}$，$\mathcal{D}$是两个$\mathbf{Set}$的不交并范畴（简单说，$\mathcal{D}$的对象要么是“第一类集合”要么是“第二类集合”，态射只能在同类型的集合之间定义，和普通集合范畴的态射规则一样）。

我们来验证双向嵌入：

1. 从$\mathcal{C}$到$\mathcal{D}$的全忠实函子：直接把$\mathbf{Set}$里的所有集合和态射对应到$\mathcal{D}$中的“第一类集合”和态射，这个包含函子显然是全忠实的，因为它完全保留了对象和态射的所有结构。
2. 从$\mathcal{D}$到$\mathcal{C}$的全忠实函子：把$\mathcal{D}$中的“第一类集合”$X$映射到$X \times {0}$，“第二类集合”$Y$映射到$Y \times {1}$；态射$f: X \to X'$（第一类）对应$f \times \text{id}{{0}}$，态射$g: Y \to Y'$（第二类）对应$g \times \text{id}{{1}}$。这个函子是全忠实的：不同类型的对象映射到$\mathbf{Set}$中不交的集合，态射也一一对应，完全保留了原范畴的结构。

但$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$显然不等价：$\mathcal{C}$里只有一个终端对象的同构类（所有单点集都同构），而$\mathcal{D}$里有两个终端对象的同构类（第一类的单点集和第二类的单点集，它们之间没有态射连接，自然不同构）。等价范畴必须在所有范畴层面的性质上都一致，所以这两个范畴不可能等价。

简单总结一下：全忠实函子只保证了“局部”结构的嵌入，但范畴等价还要求函子在整体上是“满射”的（在对象的同构类层面，以及态射的整体对应上），双向嵌入只是满足了单向的局部保留，没有达到整体等价的要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Loulou