判断多元函数f在点(0,0)处的连续性

嘿，我来帮你把这个多元函数在$(0,0)$点的连续性判断做完——你已经用极坐标转换开了个好头，咱们一步步往下推：

首先明确核心问题：要判断分段函数
$$
f(x, y) =
\begin{cases}
\frac{1 - \cos{(x^2 + y^2)}}{(x2 + y^2)x2 y^2} & \text{当 } x^2 + y^2 \neq 0, \\
0 & \text{当 } x^2 + y^2 = 0
\end{cases}
$$
在$(0,0)$处的连续性，本质就是验证$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x,y)$是否等于$f(0,0)=0$。

你已经完成了极坐标转换：令$x = r \cos\varphi$，$y = r \sin\varphi$，得到极限表达式：
$$
\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{1 - \cos{(x^2 + y^2)}}{(x2 + y^2) x^2 y^2} = \lim_{r \to 0} \frac{1 - \cos{r^2}}{r6 \cos^2{\varphi} \sin^2{\varphi}}
$$

接下来用等价无穷小替换简化分子：当$t \to 0$时，$1 - \cos t \sim \frac{t^2}{2}$。这里$r \to 0$时$r^2 \to 0$，所以$1 - \cos r^2 \sim \frac{(r²⁾2}{2} = \frac{r^4}{2}$。把这个代入极限式：
$$
\lim_{r \to 0} \frac{\frac{r^4}{2}}{r6 \cos^2{\varphi} \sin^2{\varphi}} = \lim_{r \to 0} \frac{1}{2 r^2 \cos^2{\varphi} \sin^2{\varphi}}
$$

现在关键的观察点来了：这个极限的结果和$\varphi$的取值直接相关。比如我们取定义域内的路径$\varphi = \frac{\pi}{4}$（也就是沿着直线$y=x$趋近于$(0,0)$），此时$\cos\varphi = \sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}$，计算得$\cos^2\varphi \sin^2\varphi = \frac{1}{4}$，代入后极限变为：
$$
\lim_{r \to 0} \frac{1}{2 r^2 \times \frac{1}{4}} = \lim_{r \to 0} \frac{2}{r^2} = +\infty
$$

这个结果说明：当沿着$y=x$路径趋近于$(0,0)$时，函数值趋向于正无穷，完全不等于$f(0,0)=0$。而且原极限会因趋近路径的不同得到完全不同的结果（甚至是无穷大），因此$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x,y)$不存在，自然不等于$f(0,0)$。

结论：函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处不连续。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1263607