赋范交换群中全重排收敛但和不唯一的级数存在性问询

我们先从基础定义说起：考虑赋范交换群¹（这应该是研究级数重排问题最具一般性的场景）。对于群 (G) 中的序列 (x_0, x_1, \ldots \in G)，我们定义两个集合：
$$
\begin{align*}
\Sigma &:= \Bigl{ \sigma\in\operatorname{Symm}(\mathbb N) : \sum_i x_{\sigma(i)}\text{ 收敛} \Bigr}\text{, 以及}\
A &:= \Bigl{ \sum_i x_{\sigma(i)}\in G : \sigma\in\Sigma \Bigr}\text.
\end{align*}
$$

按照常规定义，级数 (\sum_i x_i) 被称为无条件收敛，当且仅当 (\Sigma = \operatorname{Symm}(\mathbb N))（也就是所有自然数的排列对应的重排级数都收敛）并且 (|A| = 1)（所有收敛的重排级数的和唯一）。

核心问题 #

现在我有个疑问：有没有可能出现这样的情况——所有重排级数都收敛（也就是 (\Sigma = \operatorname{Symm}(\mathbb N))），但不同重排的和却不唯一（也就是 (|A| \ge 2)）？

我目前已经知道的相关结论：

• 根据黎曼重排定理，在实数域 (\mathbb{R}) 或者复数域 (\mathbb{C}) 上，这种情况是不可能发生的：只要一个级数的所有重排都收敛，那么它们的和必然唯一，也就是级数一定是无条件收敛的。
• 但在更一般的赋范交换群中，会不会存在这样的反例呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Atom