关于Fischer分解是否适用于幂级数的技术问询

先来给你拆解下Fischer分解的核心基础结论，这是探讨它能否推广到幂级数的关键前提：

Fischer证明了，对于任意给定的多项式$q$，任何$k$次齐次多项式$P_k$都可以唯一分解为：
$$
P_k(x)=Q_k(x)+q(x)R(x),
$$
其中$Q_k$是一个$k$次齐次多项式，并且满足方程：
$$
q(D)Q_k(x)=0.
$$
这里得解释下$q(D)$的含义：它是把多项式$q$中的每个变量$x_i$替换成对应的偏导数$\partial_i$后得到的微分算子。举个经典例子，如果$q(x)=\sum_{i=1}^nx_i2$，那$q(D)$就是拉普拉斯算子$\Delta$，此时的Fischer分解就和咱们熟知的经典调和多项式分解完全一致。

而借助线性性，这个分解还可以进一步拓展——回到你关心的幂级数问题：幂级数本质上是齐次多项式的无限和，只要每个齐次分量都能完成上述唯一分解，再结合线性性与级数收敛的相关条件，理论上就能将Fischer分解推广到满足特定收敛性要求的幂级数空间中。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jules Binet