关于正下密度自然数子集平移并集下密度的两个问题问询

我觉得下面这两个结论应该是成立的，但自己一直没能给出证明，想请教各位：

假设集合 $A \subset \mathbb{N}$ 具有正下密度，即满足：
$$d_*(A):=\liminf_{n\to\infty} \frac{|A\cap {1,2,\ldots,n}|}{n} \geq \theta>0.$$

问题I：是否存在某个自然数 $r\in\mathbb{N}$，使得集合
$$A_r := {a+i; a\in A\ \text{且 }i\in{0,1,\ldots, r}}$$
的下密度 $d_*(A_r)=1$？

问题II：是否对任意的 $\varepsilon >0$，都存在自然数 $r=r(\varepsilon)\in\mathbb{N}$，使得 $d_*(A_r) \geq 1-\varepsilon$？

有没有人知道这两个问题的答案呀？如果能给出证明或者相关思路、参考文献的话，我会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zazatto