如何通过可变精度算术（vpa）准确获取数字的前W位有效数字？

嘿，我碰到过vpa的这个小坑！当你想用它获取π的前W位有效数字时，直接指定W位精度可能会因为舍入操作给你一个“误导性”的结果，我来给你拆解清楚：

现象重现 #

当你执行以下代码获取π的前35位有效数字时：

>> disp(vpa(sym('pi'), 35))
3.1415926535897932384626433832795029

你会发现结果的第35位有效数字是9，但实际上π的这一位应该是8。

问题根源：舍入机制 #

这可不是vpa的bug，而是它的舍入规则导致的：vpa在生成指定精度的数值时，会计算到第W+1位数字，然后根据这一位的大小进行四舍五入。当你指定35位精度时，程序会看第36位数字——π的第36位是8（大于等于5），所以它会把第35位的8向上进1，变成9，最终输出的结果就出现了这个偏差。

验证方法 #

要确认真实的第35位数字，只需要把精度设置为W+1位（也就是36位）：

>> disp(vpa(sym('pi'), 36))
3.14159265358979323846264338327950288

这时你就能清楚看到，π的第35位确实是8，第36位的8触发了之前的舍入操作，才让35位精度的结果里第35位变成了9。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Luis Mendo