关于ℓ₁与ℓ∞空间中诱导伴随算子范数公式看似不一致的疑问

嘿，我来帮你把这个绕人的矛盾点彻底拆明白！

首先得揪出最容易踩的两个坑——这也是你觉得公式不对的核心原因：伴随算子的定义域值域不是随便反着来的，而且它和咱们常说的“共轭转置矩阵”根本不是一回事儿！

咱们拿你疑惑的ℓ₁和ℓ∞的例子，一步步算给你看：

先算原算子的范数$|M|_{1,\infty}$ #

$M$是个$n×m$的复矩阵，它作为从ℓ₁^m到ℓ∞n的算子，诱导范数的意思是：找一个ℓ₁范数不超过1的向量$x$，看看$Mx$的ℓ∞范数最大能到多少。

ℓ₁范数是向量所有元素绝对值的和，ℓ∞范数是元素绝对值的最大值。那对于任意$|x|1 ≤1$，$Mx$的第$i$个元素是$\sum{j=1}^m M_{ij}x_j$，它的绝对值肯定不超过$\sum_{j=1}^m |M_{ij}||x_j|$，而这个和又不会超过矩阵元素的最大绝对值乘以$|x|_1$（也就是1），所以上界就是矩阵里最大的那个元素绝对值。

而且这个上界是能达到的：比如取$x$是标准基向量（某个位置是1，其余是0），对应的$Mx$的元素就是$M$的某一列，它的ℓ∞范数就是这一列的最大元素绝对值，只要选对应矩阵最大元素的那一列，就能达到这个上界。所以$|M|{1,\infty} = \max{i,j} |M_{ij}|$——就是矩阵里元素的最大绝对值。

再看伴随算子的范数，为什么公式成立？ #

公式说$|M^|{p', q'} = |M|{p, q}$，这里$p=1$，$q=∞$，它们的Hölder共轭$p'=∞$，$q'=1$，所以$|M^|{\infty,1} = |M|{1,\infty}$。但这里的$M^*$可不是你以为的共轭转置矩阵！

关键误区1：伴随算子的定义域和值域

原算子$M$是从ℓ₁^m到ℓ∞n，它的伴随算子$M^{*$对应的是从ℓ∞}n的对偶空间到ℓ₁^{m的对偶空间。ℓ∞}n的对偶空间是ℓ₁^n，ℓ₁m的对偶空间是ℓ∞^{m——所以$M}*$是从ℓ₁^n到ℓ∞m的算子，不是从ℓ∞^n到ℓ₁m的！

关键误区2：伴随算子不是共轭转置矩阵

咱们这里说的伴随算子是基于Hölder对偶配对定义的，不是ℓ₂空间里的内积伴随。用这个配对规则，伴随算子$M^{*$的矩阵表示是$M$的**转置**（不是共轭转置！），它的作用是：对于$y∈ℓ₁}n$，$(M^*y)j = \sum{i=1}^n M_{ij}y_i$。

现在算这个$M^{*$的诱导范数$|M}*|_{1,\infty}$：找$|y|1 ≤1$的向量$y$，看$M^*y$的ℓ∞范数最大能到多少。和原算子的计算完全一样，这个最大值就是矩阵元素的最大绝对值，和$|M|{1,\infty}$完全相等，公式完美成立！

你觉得矛盾的原因 #

如果你之前误以为$M^{*$是共轭转置矩阵，然后去算它作为从ℓ∞}n到ℓ₁^m的算子范数，那结果肯定和$|M|_{1,\infty}$不一样——但那根本不是公式里说的“伴随算子”！那个共轭转置矩阵对应的是ℓ₂空间内积的伴随，和咱们这里基于Hölder对偶的伴随算子是两个不同的东西。

最后再划个重点 #

公式里的伴随算子，是和原算子所在空间的Hölder对偶配对绑定的，它的定义域、值域、矩阵表示都有严格的对应规则，不能和ℓ₂空间的共轭转置混为一谈。只要理清这一点，你就会发现这个公式完全自洽，没有任何矛盾~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者spin