关于标记函数衍生J函数的命名及与秩和对应关系的技术问询

我之前（现在可能也还有）对秩和概念有点搞不清楚，所以如果这个问题带着这种困惑的痕迹，还请见谅。

假设有一个标记函数 $x:{1,\ldots,n}\to{0,1}$，定义集合 $M(x):={(i,j) |, i<j \land (i,j)\in x^{-1}(0)\times x^{-1}(1)}$，再定义函数 $J(x):=|M(x)|$（也就是$M(x)$的元素个数）。

我有点混乱的点在于，我总觉得上面这个$J$和秩和是挂钩的——显然它们不是同一个东西，但看起来存在一一对应的关系。我自己私下写了个证明，但实在太久没碰这类纯数学推导了，完全不敢信自己的证明，而且里面的符号太繁琐，也没法在这里轻松复现出来。

小问题 #

上面这个函数$J$的标准名称是什么？

大问题 #

$J$和秩和之间是否存在明确的对应关系？（原文此处未完成，保留提问的原始状态）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gyro Gearloose