关于O. Güler《优化基础》中反函数定理证明细节的疑问

我最近在啃O. Güler的《Foundations of Optimization》（《优化基础》）里的反函数定理，碰到证明里的一个细节，怎么想都绕不明白，真心求对这个定理熟的朋友给我点拨点拨！

下面是书里的定理陈述和相关证明片段（我把自己搞不懂的部分标了出来，想听听大家是怎么理解这块的）：

定理3.24（反函数定理） #

设$X$和$Y$为巴拿赫空间，$x_0 \in X$，$f$是从$x_0$的某邻域到$Y$的$C^1$映射。若$Df(x_0): X \to Y$可逆，则$f$是[注：原文此处内容截断]

就是证明里我特意标出来的那个细节，逻辑怎么都捋不顺，有没有朋友能拆解一下这步的推导思路？或者用更直观的方式帮我理解这部分？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matteo Aldovardi