ℝⁿ中子集的湍流点集的最大Hausdorff维数及可达性问询

先来把关键定义理清楚，再聚焦到核心问题上：

设 $E \subset \mathbb R^n$ 是Lebesgue可测集，若 $\mathbb R^n$ 中的点 $x$ 满足以下两个条件，则称 $x$ 是 $E$ 的湍流点：
$$\liminf_{r \to 0_+} \frac{|E \cap B_r (x)|}{|B_r (x)|} = 0$$
$$\limsup_{r \to 0_+}\frac{|E \cap B_r (x)|}{|B_r (x)|} = 1$$

简单说就是，$E$ 在 $x$ 处的密度会在0和1之间出现最大幅度的振荡——随着半径趋近于0，小球里属于 $E$ 的部分占比一会儿几乎是1，一会儿又几乎是0，来回跳动。

接下来是咱们要探讨的核心问题：

这类湍流点构成的集合，它的Hausdorff维数最大能达到多少？而且这个上确界是不是真的能被某个集合 $E$ 实现？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nate River