关于球面上两圆重叠面积的解析解技术问询

咱都清楚，平面上两个半径为$R$、圆心直线距离为$d$的圆，重叠面积有现成的解析公式：
$$\frac{A}{R^2} = 2\arccos\left(\frac{d}{2R}\right) - 2\left(\frac{d}{2R}\right)\sqrt{1 - \left(\frac{d}{2R}\right)^2}$$
这个公式仅在$\frac{d}{2} \leq R$时有效，当$\frac{d}{2} > R$时重叠面积为0。

现在我想问的是：球面上两个半径为$R$的圆，它们的重叠面积有没有已知的解析结果呢？

我自己试着搭了个计算的模型——把这两个圆对称放在赤道两侧，一个在赤道上方、球面距离为$\frac{d}{2}$的位置，另一个在赤道下方、球面距离同样为$\frac{d}{2}$的位置（这里的距离都是球面上的测地线距离），不过推导还没走完...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Winther