整数集ℤ上ℓ¹序列卷积的存在性与空间归属证明问题

嘿，咱们来一步步解决这个关于整数集上ℓ¹序列卷积的问题吧！先把基本定义明确下来：

定义：对于 ( p \in [1, \infty) )，记
$$\ell^p(\mathbb{Z}) = \left{ (x_n){n \in \mathbb{Z}} : x_n \in \mathbb{C} \text{ 且 } \lim{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} |x_n|^p < \infty \right}$$
设 ( {x_n}{n \in \mathbb{Z}} ) 和 ( {y_n}{n \in \mathbb{Z}} ) 是 ( \ell^1(\mathbb{Z}) ) 中的任意两个元素。

(a) 证明对每个 ( n \in \mathbb{Z} )，极限 ( \lim_{N \to \infty} \sum_{m=-N}^{N} x_{n - m} y_m ) 存在 #

咱们固定任意一个整数 ( n )，考虑部分和序列 ( S_N = \sum_{m=-N}^{N} x_{n - m} y_m )。要证明极限存在，只要说明这个序列是柯西序列就行（毕竟复数集是完备的，柯西序列必收敛）。

当 ( M > N ) 时，计算相邻部分和的差：
$$|S_M - S_N| = \left| \sum_{m=N+1}^{M} x_{n - m} y_m + \sum_{m=-M}^{-N-1} x_{n - m} y_m \right|$$
用三角不等式放缩：
$$\leq \sum_{m=N+1}^{M} |x_{n - m}| |y_m| + \sum_{m=-M}^{-N-1} |x_{n - m}| |y_m|$$
注意到 ( x, y \in \ell^1(\mathbb{Z}) )，它们的ℓ¹范数都是有限的：( |x|{\ell^1} = \sum{k=-\infty}^{\infty} |x_k| < \infty )，( |y|{\ell^1} = \sum{m=-\infty}^{\infty} |y_m| < \infty )。那双重和 ( \sum_{m=-\infty}^{\infty} |x_{n - m}| |y_m| = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |x_k| |y_{n - k}| \leq |x|{\ell^1} \cdot |y|{\ell^1} < \infty )，这说明当 ( N, M \to \infty ) 时，上面的差会趋近于0，也就是 ( {S_N} ) 是柯西序列，所以极限必然存在。

(b) 若 ( z_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{m=-N}^{N} x_{n - m} y_m )，证明 ( {z_n}_{n \in \mathbb{Z}} \in \ell^1(\mathbb{Z}) ) #

这一步要证明序列 ( z = {z_n} ) 的ℓ¹范数有限。咱们先对任意有限的N，估计 ( \sum_{n=-N}^{N} |z_n| )：

根据极限的绝对值不超过绝对值的极限（Fatou引理的思路），有：
$$\sum_{n=-N}^{N} |z_n| = \sum_{n=-N}^{N} \left| \lim_{M \to \infty} \sum_{m=-M}^{M} x_{n - m} y_m \right| \leq \liminf_{M \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} \sum_{m=-M}^{M} |x_{n - m}| |y_m|$$
接下来交换求和顺序（因为都是非负项，交换顺序不影响结果）：
$$= \liminf_{M \to \infty} \sum_{m=-M}^{M} |y_m| \sum_{n=-N}^{N} |x_{n - m}|$$
令 ( k = n - m )，那么 ( \sum_{n=-N}^{N} |x_{n - m}| = \sum_{k=-N - m}^{N - m} |x_k| )，当 ( M \to \infty ) 时，这个和会趋近于 ( |x|{\ell^1} )。所以：
$$\sum{n=-N}^{N} |z_n| \leq |x|{\ell^1} \cdot |y|{\ell^1}$$
这个不等式对所有N都成立，当N→∞时，就得到 ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} |z_n| \leq |x|{\ell^1} \cdot |y|{\ell^1} < \infty )，这就说明 ( z \in \ell^1(\mathbb{Z}) )。

(c) 结论：( {z_n}_{n \in \mathbb{Z}} \in \ell^p(\mathbb{Z}) ) 对所有 ( p \in [1, \infty) ) 成立 #

这一步其实是个小推论，利用ℓ¹空间和ℓ^p空间的嵌入关系：当 ( p \geq 1 ) 时，( \ell^1(\mathbb{Z}) \subset \ell^p(\mathbb{Z}) )。

为什么呢？咱们简单解释一下：如果序列 ( a \in \ell^1(\mathbb{Z}) )，那么除了有限个n之外，( |a_n| < 1 )（否则如果有无穷多个n满足 ( |a_n| \geq 1 )，那ℓ¹范数就会无穷大）。对于这些 ( |a_n| < 1 ) 的项，因为 ( p \geq 1 )，所以 ( |a_n|^p \leq |a_n| )；而有限个 ( |a_n| \geq 1 ) 的项，它们的p次方和肯定是有限的。所以：
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n|^p = \sum_{|a_n| \geq 1} |a_n|^p + \sum_{|a_n| < 1} |a_n|^p \leq \text{有限项和} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n| < \infty$$
既然已经证明了 ( z \in \ell^1(\mathbb{Z}) )，那自然 ( z \in \ell^p(\mathbb{Z}) ) 对所有 ( p \in [1, \infty) ) 都成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ricci Ten