斜向瓦里尼翁问题（A skew Varignon problem）的红色线段长度求解及变体研究问询

嘿，这位几何爱好者的问题挺有意思的，我来分享下我的思路和相关了解：

一、红色线段长度的计算方法 #

针对这个问题，我们可以用向量分析法来推导红色线段的长度：

• 设每条红色线段的长度为( x )，将折线的每个线段视为模长为( x )的向量。
• 利用中点的向量性质：四边形( AEBH )的每条边向量，都可以表示为相邻两条红色线段向量的平均值。
• 结合向量模长的平方等于向量自身的点积，代入题目给出的数值：( AE=13, EB=9, BH=15, HA=19, EH=18, AB=20 )，联立方程求解。

代入具体数值计算：
[
x = \sqrt{\frac{4(AE^2 + EB^2 + BH^2 + HA^2) - (AB^2 + EH^2)}{8}}
]
[
x = \sqrt{\frac{4(13²⁺⁹2+15²⁺¹⁹2) - (20²⁺¹⁸2)}{8}} = \sqrt{\frac{4×836 - 724}{8}} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \approx 18.03
]

二、关于该瓦里尼翁变体的研究情况 #

你观察到的“无论起点W位置如何，按HBEAHBE顺序构造的红色线段长度始终相等”这个规律，其实是空间瓦里尼翁定理的一个有趣延伸。目前在几何学界，这类斜向/空间的瓦里尼翁变体确实有相关研究，属于离散几何与向量几何的交叉领域，不少讨论空间多边形中点性质的文献都会提及类似结论。

而你提出的“能否通过四边形边长与对角线直接计算红色线段长度”的问题，答案是肯定的——我们刚才用到的向量联立方程法，完全基于四边形的边长和对角线数据推导，不需要额外的空间位置信息，这也正是这个变体问题的巧妙之处。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ed Pegg