关于<span class="math-container">$C_{pq}$</span>在<span class="math-container">$p+q$</span>元<span class="math-container">$G$</span>-相关集合上的忠实作用的技术问询

我最近在研究阶为$pq$的群（$p,q$是不同素数且满足$p \mid q-1$），这类群在同构意义下只有两种：循环群$C_{pq}$和半直积$C_p \ltimes C_q$。我能理解半直积$C_p \ltimes C_q$嵌入到$S_q$的由来$\dagger$，但对循环群$C_{pq}$嵌入到$S_{p+q}$的具体依据一直摸不清头绪，想请教大家一个具体问题：

Q: 有没有一个大小为$p+q$、元素都是$G$-相关对象的集合，使得$C_{pq}$能在其上做忠实作用？这个作用又是怎么定义的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kan't