可逆复矩阵充分大幂次相似时，原矩阵是否必相似？相关证明问询

各位好，我现在碰到这么一个证明问题想请教大家：

设$A$和$B$是两个可逆的复矩阵，假设存在某个整数$N$，使得对所有满足$k\ge N$的整数$k$，都有$A^k \sim B^k$（这里$\sim$代表矩阵相似）。我需要证明$A$和$B$本身也是相似的。

我自己尝试用Jordan标准形来切入，目前有了一些初步思路：

• 因为$A$是可逆矩阵，所以它的所有特征值都属于非零复数域$\mathbb{C}^\times$，设$A$的不同特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$。
• $A$的Jordan标准形可以写成分块对角矩阵$\text{diag}{J_{n_1}(\lambda_1), J_{n_2}(\lambda_2), \dots, J_{n_s}(\lambda_s)}$，其中每个$J_{n_i}(\lambda_i)$是对应特征值$\lambda_i$的Jordan块，具体形式是$J_{n_i}(\lambda_i)=\text{diag}{J(\dots$（本来想继续拆解Jordan块的结构，分析它的幂次性质，但目前卡在这儿了）

想问问大家有没有完整的证明思路，或者能帮我补充这个Jordan标准形方向的推导细节？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NamarhNamino