请求验证用最小反例法证明斐波那契数奇偶性命题的正确性
这是《Book of Proof》第197页的一道练习题。我在第二步尝试用最小反例法来证明，但这是我第一次用这个方法证明命题，不确定我的证明是否正确。
首先我要证明的命题是：若$3\mid n$，则第$n$个斐波那契数$F_n$是偶数。
我的证明步骤如下：
先验证几个基础情况：
- $3\mid 3$，对应的$F_3=2$，是偶数；
- $3\mid 6$，对应的$F_6=8$，是偶数；
- $3\mid 9$，对应的$F_9=34$，是偶数
尝试用最小反例法继续证明：
我假设对于某个正整数$k\in\mathbb{N}$，当$n=3k$时，$F_{3k}=2a$（$a$是整数，也就是偶数）……（这里我的思路还没写完，想请教这样的开头是否正确，以及后续该怎么完善？）
验证与完善建议
你的思路方向完全正确，最小反例法的核心就是先假设存在最小的反例，再通过推导得出矛盾，从而证明命题成立。我们可以把这个证明补全得更严谨：
假设存在最小的正整数$k$，使得$F_{3k}$是奇数（也就是命题不成立的最小$n=3k$）。那么对于所有小于$k$的正整数$m$，当$n=3m$时，$F_{3m}$都是偶数（因为$k$是最小反例，比它小的情况都满足命题）。
接下来利用斐波那契数列的递推公式$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，把$F_{3k}$展开：
$F_{3k}=F_{3k-1}+F_{3k-2}$
进一步把下标拆成$3(k-1)+2$和$3(k-1)+1$，再用递推公式展开$F_{3(k-1)+2}$：
$F_{3(k-1)+2}=F_{3(k-1)+1}+F_{3(k-1)}$
代入回$F_{3k}$的表达式：
$F_{3k}=(F_{3(k-1)+1}+F_{3(k-1)})+F_{3(k-1)+1}=2F_{3(k-1)+1}+F_{3(k-1)}$
现在看这个式子：$2F_{3(k-1)+1}$是2乘以整数，显然是偶数；而根据最小反例的假设，$F_{3(k-1)}$是偶数（因为$k-1<k$，属于已经满足命题的情况）。偶数加偶数结果还是偶数，这就和我们假设的$F_{3k}$是奇数矛盾了。
这说明我们最初“存在最小反例”的假设是错误的，因此不存在这样的反例，命题对所有满足$3\mid n$的正整数$n$都成立。
总的来说，你的开头是正确的，只要按照这个逻辑补全推导过程，整个证明就是严谨有效的啦！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gwen
