利用集合恒等式化简集合表达式$(A^{c}\cap C)\cup(A\cap C)$的技术求助

嘿，我完全懂你卡了一小时的那种挫败感！咱们别绕远路，直接用更贴合的集合恒等式来拆解这个问题～

首先，你可以回忆集合的分配律（反向应用）：对于任意集合X、Y、Z，都有$(X \cap Z) \cup (Y \cap Z) = Z \cap (X \cup Y)$。把这个套到你的原式上：

原式：$(A^c \cap C) \cup (A \cap C)$

我们把$C$当成上面公式里的Z，$A^c$是X，$A$是Y，代入后得到：
$$C \cap (A^c \cup A)$$

接下来用互补律：任何集合和它的补集的并集是全集，也就是$A^c \cup A = U$（U表示全集），代入后式子变成：
$$C \cap U$$

最后用同一律：任何集合和全集的交集就是它本身，也就是$C \cap U = C$。这样就直接得到了结果！

至于你之前用分配律展开的那个方向，其实也能走通，但绕了弯路：

你得到的式子：$((A^c \cap C) \cup A) \cap ((A^c \cap C)\cup C) = C$

咱们来拆这个式子：

• 右边的括号$(A^c \cap C) \cup C$，用吸收律就能直接化简成C（因为C包含了$A^c \cap C$，所以并集就是C）；
• 左边的括号$(A^c \cap C) \cup A$，用分配律展开成$(A^c \cup A) \cap (C \cup A)$，再用互补律得到$U \cap (A \cup C) = A \cup C$；
• 最后整个式子变成$(A \cup C) \cap C$，再用吸收律就能得到C了。

所以两种方法都能到终点，但第一种反向用分配律的方式更直接，下次遇到这种“同一个集合分别和两个互补集合相交再取并”的结构，直接想到提公共集合就行啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user3491432