关于Verhulst著作中非线性微分方程组的临界点分析与首次积分的技术问询

嘿，我最近在做Verhulst著作里的一道习题（编号2.8），碰到了一些不太明白的地方，想跟大家请教下这个问题：

这道习题研究的是非线性微分方程组：
$$\begin{cases}
\dot{x}=x^2-y3\
\dot{y}=2x(x^2-y).
\end{cases}$$

第一步：求临界点 #

我先按照常规方法找系统的临界点，也就是令两个方程的右端项都为0，得到方程组：
$$\begin{cases}
x^2=y3\
2x^3=2xy\implies x^2=y.
\end{cases}$$
联立求解后，得到的临界点是 $\left{(0,0),(1,1),(-1,1)\right}$。

我的常规思路与困惑点 #

按照我之前学的知识，要分析这些临界点的类型，一般是计算每个临界点处雅可比矩阵的特征值对吧？但参考答案（附录6）里的思路完全不一样：

• 它直接指出向量场的散度为0，因此没有吸引点；
• 还提到方程 $\dfrac{dy}{dx}$ 是恰当的（我完全搞不懂这个术语在这里的意思）；
• 紧接着就给出了系统的首次积分。

我现在的疑问是：

• 为什么散度为0就能推出没有吸引点？
• “恰当的”这个说法在这个微分方程场景下到底指什么？
• 怎么从这个方程组推导出对应的首次积分呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hamdiken