关于存在可测函数$f$与独立随机变量$Z$使得$(X,Y)$与$(X,f(X,Z))$同分布的技术问询

嘿，各位概率论方向的大佬们，我有个问题想请教：

假设$X$和$Y$是两个随机变量，请问是否一定存在一个可测函数$f$，以及一个与$X$独立的随机变量$Z$，满足以下两个条件：

• $(X,Y)$和$(X, f(X,Z))$具有完全相同的分布
• $X$与$Z$相互独立

额外说明一下，我们可以默认**$Y$关于$X$的正则条件分布是存在的**——这个前提在底空间为Radon空间时，能通过分解定理推导得到。

再明确一点：我并没有额外假设$X$和$Y$独立这类限制条件哈。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者James