非空行约束下相同物体入盒的组合计数问题求解及方法验证

咱们先把问题说清楚：
有5行盒子，每行的数量分别是：

• 第1行：5个盒子
• 第2行：4个盒子
• 第3行：3个盒子
• 第4行：2个盒子
• 第5行：2个盒子

现在要把11个完全相同的物体放进这些盒子里，要求每个盒子最多放1个物体，而且所有行都不能空（也就是每行至少得放1个物体）。

我最开始打算用容斥原理来解决这个问题：先算出「至少有一行是空的」所有摆放方式数，再用不考虑任何非空约束的总摆放数减去这个数，就能得到满足所有行非空的结果。我还初步整理了一个表格来梳理不同空行数量对应的情况数，但后来发现表格里的部分数值有误，下面我会详细拆解正确的计算过程：

具体计算步骤 #

1. 总摆放数（无约束）：
   所有盒子总数是$5+4+3+2+2=16$个，从16个盒子里选11个放物体，组合数为：
   $$\binom{16}{11}=4368$$

2. 用容斥原理计算「至少一行空」的情况数：
   根据容斥公式，至少一行空的情况数 = 单空行情况数之和 - 双空行情况数之和 + 三空行情况数之和 - ...
   代入数值：
   $$819 - 14 + 0 - 0 + 0=805$$

3. 满足所有行非空的情况数：
   用总摆放数减去至少一行空的情况数：
   $$4368 - 805=3563$$

直接法验证（枚举所有可行的行分配） #

我们也可以通过枚举每行的物体数量来验证结果：
要求每行至少1个物体，设第$i$行放$x_i$个，满足$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=11$，且$x_1≤5,x_2≤4,x_3≤3,x_4≤2,x_5≤2$。
按$x_4$和$x_5$的取值组合枚举（仅可能为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)），计算每种组合对应的行选盒组合数之和，最终总和为$876+970+970+747=3563$，和容斥法结果完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SUNIL CHOUDHARY