如何证明a×b的叉乘与b垂直？含R3空间向量验证疑问

嘿，我来帮你彻底搞懂这个问题——不管是二维平面还是三维空间，叉乘的核心性质之一就是它和参与运算的两个原始向量都垂直，咱们一步一步来拆解：

首先回忆两个关键知识点：

• 两个向量垂直的充要条件是它们的点积等于0
• 三维空间中，若$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$，叉乘的定义是：
  $$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$$

现在咱们计算$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{b}$的点积：
$$
\begin{align*}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b} &= (a_2b_3 - a_3b_2)b_1 + (a_3b_1 - a_1b_3)b_2 + (a_1b_2 - a_2b_1)b_3 \
&= a_2b_1b_3 - a_3b_1b_2 + a_3b_1b_2 - a_1b_2b_3 + a_1b_2b_3 - a_2b_1b_3 \
&= 0
\end{align*}
$$

所有项全部抵消，结果为0，根据垂直的充要条件，$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$必然和$\boldsymbol{b}$垂直。同理，它也和$\boldsymbol{a}$垂直，这是叉乘的固有性质~

你给出的向量是$\boldsymbol{A}=(0, -2, 5)$、$\boldsymbol{B}=(2, 2, -5)$，$\boldsymbol{C}$其实在这里用不上（因为$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$只和$\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$相关），咱们一步步算：

1. 先计算$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$：
   $$
   \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \begin{vmatrix}
   \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \
   0 & -2 & 5 \
   2 & 2 & -5
   \end{vmatrix} = \boldsymbol{i}[(-2)(-5) - 5\times2] - \boldsymbol{j}[0\times(-5) -5\times2] + \boldsymbol{k}[0\times2 - (-2)\times2]
   $$
   计算每个分量：

   • $\boldsymbol{i}$分量：$10 - 10 = 0$
   • $\boldsymbol{j}$分量：$-[0 - 10] = 10$
   • $\boldsymbol{k}$分量：$0 + 4 = 4$
     所以$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = (0, 10, 4)$

2. 计算它和$\boldsymbol{B}$的点积：
   $$
   (0,10,4) \cdot (2,2,-5) = 0\times2 + 10\times2 + 4\times(-5) = 0 + 20 - 20 = 0
   $$

点积结果为0，完美验证了$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$和$\boldsymbol{B}$垂直。

另外补充一句：你提到的二维平面里的$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b}=0$其实就是三维情况的特例——二维向量可以看作z分量为0的三维向量，代入上面的推导，结果同样是0，所以本质是同一个逻辑~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Robbie