ℝⁿ中的有限单纯子流形是否为拓扑局部平坦？

嘿，咱们先把要讨论的对象和定义都掰扯明白，再聊答案哈：

首先明确几个核心概念：

• 咱们研究的是$\boldsymbol{X \subseteq \mathbb R^n}$：它是一个无边界的k维紧致拓扑流形（这里k < n），而且它是$\mathbb R^n$里某个有限单纯复形K的所有单纯形的并——不同作者会把这种X叫做“单纯子流形”或者“多面体子流形”。
• 再说说什么是拓扑局部平坦：如果对X里的每一点x，都能找到$\mathbb R^n$中的一个开邻域U，以及一个同胚$\phi: U \to \mathbb R^n$，使得$\phi(X \cap U)$刚好就是$\mathbb R^k$（把$\mathbb R^k$看作$\mathbb R^n$的标准子空间，比如前k个坐标张成的子空间）。简单说就是，X上每一点附近都能通过一个拓扑变换（同胚）把X的局部“掰”成标准的$\mathbb R^k$嵌入，没有拧结或者“卡壳”的地方。

那回到问题本身：答案不是绝对的，得分情况看：

• 当嵌入的余维数（也就是n - k）≥3时，所有这类有限单纯子流形都是拓扑局部平坦的——这是因为余维数足够大时，单纯拼接的结构不会造成拓扑上的“拧结”，局部总能通过同胚调整成标准嵌入。
• 但当余维数等于2时（比如k=2，n=4；或者k=1，n=3），就存在反例了：有一些有限单纯子流形，虽然它是由单纯形拼接而成的，但在局部，它的嵌入方式没法通过同胚变成标准的$\mathbb R^k$嵌入，也就是不满足拓扑局部平坦的条件。

总结一下：低余维数（余维2）下存在反例，高余维数（余维≥3）下则都是拓扑局部平坦的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AlpinistKitten