关于单射李群同态的像的李群子群结构命题的疑问

嗨，我刚看到你的问题，正好对这块内容有点熟，来给你捋捋！你卡在J. Lee《Introduction to Smooth Manifolds》里的命题7.17和它的证明，对吧？我先把关键的逻辑链条拆解开，帮你理清楚每一步的来龙去脉。

首先先把命题明确下来：

命题7.17：若$F: G \rightarrow H$是单射李群同态，则$F(G)$上存在唯一的光滑流形结构，使得$F(G)$成为$H$的李子群，且$F: G \rightarrow F(G)$是李群同构。

接下来我把证明里的关键步骤（包括你看到的截断部分）完整拆解：

• 第一步：李群同态的常秩性
  这是李群同态的核心自带属性：任何李群同态都是常秩映射。背后的逻辑和李群的群结构直接相关——你可以用李群的左平移操作来“传递”切映射的秩。具体来说，对$G$里任意两个点$g_1, g_2$，左平移$L_{g_2 g_1^{-1}}: G \to G$是李群同构，它的切映射自然是线性同构；而李群同态满足$F \circ L_g = L_{F(g)} \circ F$，两边取切映射的话，就能得到$dF_{g_2}$和$dF_{g_1}$的秩完全相等，所以$F$的秩在整个$G$上都是常数。

• 第二步：从常秩+单射推出光滑浸入
  因为$F$是单射的，它的秩不可能小于$G$的维数——如果秩更小，根据局部秩定理，$F$在局部会把不同的点映射到同一个点，这就和单射矛盾了。所以$F$的秩等于$\dim G$，这正好符合光滑浸入的定义：切映射处处是单射（切映射的秩等于定义域的维数）。

• 第三步：浸入子流形结构的唯一性
  这里用到的命题5.18，在J. Lee的书里是说：如果一个光滑映射是光滑浸入，那么它的像上存在唯一的光滑流形结构，使得这个像成为目标流形的浸入子流形，且原映射是从定义域到像的微分同胚。放到我们的问题里，就是$F(G)$上有且只有一种光滑结构，让它成为$H$的浸入子流形，同时$F: G \to F(G)$是微分同胚。

• 第四步：给$F(G)$赋予李群结构并验证光滑性
  现在$F(G)$已经有了光滑流形结构，接下来要证明它是$H$的李子群：

  1. 群结构层面：因为$F$是李群同态，对任意$x,y \in F(G)$，存在$g_1,g_2 \in G$使得$x=F(g_1), y=F(g_2)$，那么$xy=F(g_1 g_2) \in F(G)$，逆元$x^{-1}=F(g_1{-1}) \in F(G)$，所以$F(G)$是$H$的子群。
  2. 光滑性层面：乘法映射$m: F(G) \times F(G) \to F(G)$可以写成$m(x,y)=F(F^{-1}(x) F^{{-1}(y))$，因为$F$是微分同胚，$F}{-1}$光滑，$G$上的乘法光滑，$F$本身也光滑，所以复合起来乘法映射是光滑的；逆映射同理，也是光滑的。这就满足了李群的光滑性要求，所以$F(G)$是$H$的李子群。

• 最后一步：李群同构的结论
  现在$F: G \to F(G)$既是双射的群同态（单射同态，像就是$F(G)$），又是微分同胚（来自浸入子流形的结构），所以它自然就是李群同构了。

如果还有哪块细节没搞透，比如命题5.18的具体内容，或者左平移和切映射的关系，可以再问哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Motoko