关于构造满足Δf = g的多项式f的证明问询

我目前在研究一个多项式相关的问题，想证明：对于任意多项式 $g: \mathbb{N}\to\mathbb{R}$，都能构造出另一个多项式 $f$，使得 $g = \Delta f$，其中差分算子 $\Delta$ 的定义是 $\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)$。

我已知的内容与尝试过的思路 #

• 如果多项式 $f$ 的次数为 $d$，那么 $\Delta f$ 的次数就是 $d-1$，这个结论很容易验证：比如对单项式 $n^k$ 做差分，$\Delta(n^k) = (n+1)^k - n^k = kn^{k-1} + \text{低次项}$。

假设 $f(n)$ 的展开形式为：
$$f(n) = a_0 + a_1n + a_2n^2 + a_3n^3 + \dots + a_dn^d$$

那么计算差分可得：
$$
\begin{align}
f(n+1) - f(n) &= a_1 + a_2\left((n+1)^2-n2\right) + a_3\left((n+1)^3-n3\right) + \dots + a_d\left((n+1)^d-nd\right).
\end{align}
$$

我尝试过直接令 $g(n) = f(n+1) - f(n)$，然后试图从中推导系数之间的对应关系，但还没找到完整的构造方法……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者earendel