$\mathbb{F}_q$上恰有指定数量线性因子的$n$次首一多项式的计数方法咨询

我们知道，可以证明$\mathbb{F}_q[t]$中次数为$n$的首一无平方因子多项式有$q^n - q^{n-1}$个，标准的证明方法是利用Zeta函数。

不过我现在遇到了一个更难的组合问题：我想计数$\mathbb{F}_q[t]$中次数为$n$的首一多项式，要求这类多项式在$\overline{\mathbb{F}_q}[t]$中恰好有$m$个线性因子（其中$m < n$）。这个问题从组合学角度来说难度大很多，而且如果用这类计数作为系数构造Dirichlet级数，得到的函数并没有很好的欧拉乘积性质。

有没有人知道该怎么计算这类多项式的数量呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者daruma