Matlab convn函数3阶张量valid模式运算原理及首元素计算演示

我来帮你一步步理清这个3D卷积的计算过程——你已经提前把滤波器w旋转180度，这步太关键了，因为MATLAB默认的convn其实是做互相关运算，要实现数学定义上的卷积，必须先对滤波器做全维度翻转（也就是你说的180度旋转）。

先明确维度与符号定义 #

我们先给输入张量i和翻转后的滤波器w'的元素做个标记，方便后续计算：

• 输入i：尺寸3×3×2，两个通道的元素可以表示为：
  通道1（i(:,:,1)）：

  i₁₁₁ i₁₂₁ i₁₃₁
  i₂₁₁ i₂₂₁ i₂₃₁
  i₃₁₁ i₃₂₁ i₃₃₁
  

  通道2（i(:,:,2)）：

  i₁₁₂ i₁₂₂ i₁₃₂
  i₂₁₂ i₂₂₂ i₂₃₂
  i₃₁₂ i₃₂₂ i₃₃₂
  

• 原滤波器w：尺寸2×2×2，旋转180度（全维度翻转）后得到w'，翻转规则是每个维度都做镜像翻转——比如原w(1,1,1)会移动到w'(2,2,2)，w(1,1,2)移动到w'(2,2,1)，以此类推，对应关系如下：

  w'(1,1,1) = w(2,2,2)
  w'(1,1,2) = w(2,2,1)
  w'(1,2,1) = w(2,1,2)
  w'(1,2,2) = w(2,1,1)
  w'(2,1,1) = w(1,2,2)
  w'(2,1,2) = w(1,2,1)
  w'(2,2,1) = w(1,1,2)
  w'(2,2,2) = w(1,1,1)
  

'valid'模式下第一个输出元素的计算逻辑 #

在'valid'模式下，卷积窗口只能完全落在输入张量内部，第一个输出元素out(1,1)对应的是输入中最左上角的、刚好能容纳滤波器的子张量——也就是i(1:2, 1:2, 1:2)这个2×2×2的子块，和翻转后的滤波器w'做逐元素相乘后求和（点积运算）。

具体计算式展开 #

把翻转后的滤波器和输入子张量的对应元素相乘再累加，得到第一个输出元素：

out(1,1) = w'(1,1,1)*i(1,1,1) + w'(1,1,2)*i(1,1,2) + w'(1,2,1)*i(1,2,1) + w'(1,2,2)*i(1,2,2)
          + w'(2,1,1)*i(2,1,1) + w'(2,1,2)*i(2,1,2) + w'(2,2,1)*i(2,2,1) + w'(2,2,2)*i(2,2,2)

替换成原滤波器w的元素后，式子变成：

out(1,1) = w(2,2,2)*i(1,1,1) + w(2,2,1)*i(1,1,2) + w(2,1,2)*i(1,2,1) + w(2,1,1)*i(1,2,2)
          + w(1,2,2)*i(2,1,1) + w(1,2,1)*i(2,1,2) + w(1,1,2)*i(2,2,1) + w(1,1,1)*i(2,2,2)

举个数值例子验证 #

假设我们给输入和滤波器赋值：

% 输入张量i
i = cat(3, [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], [10 11 12; 13 14 15; 16 17 18]);
% 原滤波器w
w = cat(3, [1 0; 0 1], [0 1; 1 0]);

先手动计算out(1,1)：
代入数值到上面的式子，得到：

out(1,1) = 0*1 + 1*10 + 1*2 + 0*11 + 1*4 + 0*13 + 0*5 + 1*14 = 30

再用MATLAB代码验证：

% 对滤波器做3D全维度翻转（180度旋转）
w_flipped = flip(flip(flip(w, 1), 2), 3);
% 执行valid模式卷积
out = convn(i, w_flipped, 'valid');
% 输出第一个元素
disp(out(1,1)); % 结果为30，和手动计算一致

内容的提问来源于stack exchange，提问作者abdelaziz botalb