利用向量点积求解三角函数表达式值的问题

Given:
$$2\sin x\sin y+3\cos y+6\cos x\sin y=7$$
Then find the value of $\tan^2x+2\tan2y$.

嘿，你猜的没错，向量点积搭配柯西不等式确实是破解这个题的核心思路！咱们一步步来拆解：

首先，先把原式的项重新整理分组，把含$x$的项合并到一起：
$$(2\sin x + 6\cos x)\sin y + 3\cos y = 7$$

这时候我们可以把左边看作两个向量的点积：

• 设向量$\vec{u} = (2\sin x + 6\cos x, 3)$
• 设向量$\vec{v} = (\sin y, \cos y)$

那么原式就等价于 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 7$。

接下来回忆柯西不等式：对于任意两个向量，它们点积的绝对值不超过两个向量模长的乘积，也就是 $|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| \times |\vec{v}|$，当且仅当两个向量同向共线时，等号成立。

先算$\vec{v}$的模长：$|\vec{v}| = \sqrt{\sin^2 y + \cos^2 y} = 1$，这是三角函数的基本恒等式，很简单。

再算$\vec{u}$的模长：
$$|\vec{u}| = \sqrt{(2\sin x + 6\cos x)^2 + 3^2}$$
而$2\sin x + 6\cos x$这个式子，用辅助角公式可以算出它的最大值：$\sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$，所以$(2\sin x + 6\cos x)^2$的最大值就是40，代入模长公式得：
$$|\vec{u}|_{\text{max}} = \sqrt{40 + 9} = \sqrt{49} = 7$$

现在看原式的点积是7，刚好等于$|\vec{u}|_{\text{max}} \times |\vec{v}|$，所以柯西不等式的等号必须成立，这意味着两个向量同向共线，同时$2\sin x + 6\cos x$取到最大值$2\sqrt{10}$。

接下来利用共线条件和点积的值来求各个三角函数：

1. 因为$\vec{u}$和$\vec{v}$同向共线，所以存在正数$k$，使得$\vec{u} = k\vec{v}$，即：
   $$2\sin x + 6\cos x = k\sin y, \quad 3 = k\cos y$$
   同时点积$\vec{u} \cdot \vec{v} = k(\sin^2 y + \cos^2 y) = k = 7$，所以$k=7$。

2. 代入$k=7$，先求$y$的三角函数：
   $$\cos y = \frac{3}{7}, \quad \sin y = \frac{2\sin x + 6\cos x}{7}$$
   因为$2\sin x + 6\cos x=2\sqrt{10}$，所以$\sin y = \frac{2\sqrt{10}}{7}$（这里取正号是因为点积为正，向量同向，所以$\sin y$和$2\sin x+6\cos x$同号）。

3. 再求$x$的三角函数：
   由$\sin x + 3\cos x = \sqrt{10}$（两边除以2），用辅助角公式可知，当这个式子取最大值时，$\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}}$，$\cos x = \frac{3}{\sqrt{10}}$（具体推导：设$\sin(x+\phi)=1$，其中$\tan\phi=3$，则$x=\frac{\pi}{2}-\phi$，所以$\sin x=\cos\phi=\frac{1}{\sqrt{1+3^2}}$，$\cos x=\sin\phi=\frac{3}{\sqrt{1+3^2}}$）。

现在计算目标表达式：

• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{3}$，所以$\tan^2 x = \frac{1}{9}$
• $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{2\sqrt{10}/7}{3/7} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$，所以$\tan^2 y = \frac{40}{9}$

代入$\tan^2x + 2\tan^2y$：
$$\frac{1}{9} + 2\times\frac{40}{9} = \frac{1 + 80}{9} = \frac{81}{9} = 9$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Koustav Dumrewal