关于级数发散性的技术问询：∑aₙ发散时∑aₙbₙ的敛散性判断

我最近在琢磨这么一个级数问题：如果级数$\sum a_n$是发散的，同时序列$b_n$是无界且递增的，那级数$\sum a_n b_n$是不是一定发散？我个人感觉这个结论应该是对的，下面是我目前梳理出来的推导思路：

• 已知$\sum a_n$发散，那么它的部分和序列$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$必然是发散的。根据发散序列的定义，存在某个$\epsilon > 0$，使得对于任意的自然数$k$，总能找到对应的$m_k$和$n_k$，满足$|S_{n_k} - S_{m_k}| > \epsilon$。
• 接下来看目标级数$\sum a_n b_n$的部分和$T_n = \sum_{k=1}^n a_k b_k$，我们可以把$a_k$用部分和的差来表示：$a_k = S_{k+1} - S_k$，所以$T_n$可以变形为：$T_n = \sum_{k=1}^n (S_{k+1} - S_k)b_k$。
• 由于$b_n$是递增无界的，当$k$取足够大的数值时，只要满足$n_k > m_k$，就一定有$b_{n_k} > b_{m_k} > 0$。

我本来打算接着推导$|T_{n_k} - T_{m_k}| > \epsilon \times \dots$，以此来证明$\sum a_n b_n$的部分和序列会出现任意大的差值，从而证明这个级数是发散的，但目前推导还没完成，想问问大家这个思路是不是可行，或者有没有更严谨的证明方法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user-492177