关于曲面上的曲线与函数域上解的对应关系的技术问询

我在Corvaja和Zannier的论文《An abcd theorem over function fields and its applications》里看到了以下结论：

• 曲面$S$上的一条曲线对应一个从抽象光滑曲线$C$到$S$的态射$C \rightarrow S$。
• 反过来，这又对应于曲面$S$的方程在$k(C)$中的一个解。

这里的$k(C)$指的是代数闭域$k$上曲线$C$的函数域。

我对第一个结论有点疑问：这里提到的“曲线”和$C$是不是同一个东西？我感觉这和“曲线$C$上的$k$-点对应……”这个思路是类似的，但还没完全捋清楚。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者oleout