关于$P\pm P = 2\Bbb{Z}$问题相关逆系统的疑问：必然存在哪些明显限制？

嘿，我目前正在尝试证明$P \pm P = 2\Bbb{Z}$（不管是取加号还是减号的情况），这里定义的集合$P = { \pm 1, q : q \text{ 是奇素数}}$。不过过程中我遇到了一个关于逆系统的疑问，想跟大家探讨下。

先铺垫下相关的背景设定：

• 设$f_{n+1,n} : \Bbb{Z}/p_{n+1}# \twoheadrightarrow \Bbb{Z}/p_n#$是自然的环满射，这些映射构成了一个逆系统；$U_n = \Bbb{Z}/p_n#^{\times}$是模第n个素数阶乘（primorial）的单位群。
• 如果令$L = \varprojlim \Bbb{Z}/p_n#$，那么显然有$U = L^{\times} = \varprojlim U_n$，这部分我是理解的。

现在我的疑问来了：如果我们构造这样一列集合：
$$
X_1 = U_1 \
X_2 = a_2 \sqcup U_2 \
X_3 = {a_2, a_3} \sqcup U_3 \
\vdots
$$
这里的$a_2,a_3,\dots$是一些额外加入的元素。我想知道：当$X_n$本身要构成一个逆系统的时候，是不是必然存在一些明显的限制条件？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TotoposAndPicoDeGallo