保持Lipschitz常数的函数与梯度延拓问题

嘿，先跟大家把问题的前提条件理清楚：
设 $f:K \to \mathbb{R}$ 是定义在集合 $K=[0,1]^2$（更一般的场景下，$K$ 可以是 $\mathbb{R}^d$ 中的凸紧集）上的 $C^2$ 函数，而且 $f$ 及其各阶导数都是逐点有界的。基于这个有界性假设，$\nabla f$ 在 $\ell_2$ 范数下是局部Lipschitz连续的，对应的Lipschitz常数我们记为 $L$。这里要特意强调：我们并没有对 $f$ 做凸性假设。

我的核心问题是：
能不能把 $f$ 和 $\nabla f$ 延拓到整个 $\mathbb{R}^2$ 上？要求延拓后的函数的梯度（姑且记作 $\tilde{\nabla}f$）依然保持全局Lipschitz连续性，而且它的Lipschitz常数不能超过原来的 $L$？如果还能让延拓后的函数本身也保持 $C^2$ 光滑性，那就更完美了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andymt