非域情况下多项式商环的元素个数问题——以ℤ₄[x]/<p(x)>为例

嘿，这个问题问得挺关键的——很多人刚学多项式商环的时候，都会被域和非域的情况搞混，我来给你捋清楚：

首先看你提出的第一个问题：

当$p(x)$是次数为$n$的多项式时，$\mathbb{Z}_4[x]/<p(x)>$里有多少个元素？

你已经明确知道：当$\mathbb{F}$是含$m$个元素的域时，$\mathbb{F}[x]/<p(x)>$的元素个数是$m^n$，而且理解这个结论的证明，这很好。

你的核心疑问是：

$\mathbb{Z}_4$里有零因子（比如2），这会不会改变答案？元素个数还是$4^n$吗？

答案是仍然是$4^n$，原因其实和域的情况本质上是带余除法的应用——只不过这里不需要系数环是域，只需要多项式$p(x)$的首项系数是环里的单位就行（$\mathbb{Z}_4$里的单位是1和3，都是可逆的）。

具体来说：

• 不管$\mathbb{Z}_4[x]$里的多项式$f(x)$是什么样的，我们都可以做带余除法：存在唯一的多项式$q(x)$和$r(x)$，使得$f(x) = q(x)p(x) + r(x)$，其中$r(x)$要么是零多项式，要么次数小于$n$。
• 这就意味着，每个陪集$f(x)+<p(x)>$都能唯一对应到一个次数小于$n$的多项式$r(x)$。而次数小于$n$的多项式，每个系数都可以从$\mathbb{Z}_4 = {0,1,2,3}$里选，一共有$n$个系数位置，所以总共有$4^n$个这样的多项式，也就对应了商环里的所有元素。

那零因子的存在影响什么呢？它影响的是商环的代数结构——比如这个商环可能不是整环，甚至不是域，但元素的个数并不会因为零因子的存在而改变，因为我们只是在做陪集的计数，每个陪集的代表元的选择方式和系数环是否为域无关，只要带余除法能成立（首项系数是单位就行）。

如果$p(x)$的首项系数不是单位呢？比如首项系数是2，这时候带余除法不一定能顺利进行，但通常这类问题里的$p(x)$默认是首一多项式（首项系数1，是单位），所以不用考虑这种特殊情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dr. John