同维数代数簇的单态射是否必为满态射？

答案是否定的，我们可以用非常直观的例子来推翻这个结论。

先看一个仿射情形的反例：

• 取$Y$为仿射平面$\mathbb{A}^{2$（这是典型的2维代数簇），$X$为$\mathbb{A}}2$去掉闭点$(0,0)$后的开子集，令$f:X\to Y$是包含态射——也就是把$X$里的每个点直接映射到$Y$中对应的点。

我们来逐一验证这个例子符合所有前提但不满足满射的结论：

• $X$和$Y$都是整的、分离的有限型概形，完全符合代数簇的定义；
• $\dim X = \dim Y = 2$，满足同维数的要求；
• $f$是单射：因为是包含映射，$X$里的不同点在$Y$中对应的点也完全不同，不存在两个点映射到同一个点的情况；
• 但$f$显然不是满射：$Y$中的原点$(0,0)$不在$f$的像里，毕竟$X$本身就不包含这个点。

再补充一个射影情形的反例：

• 取$Y$为射影平面$\mathbb{P}^{2$，$X$为$\mathbb{P}}2$去掉任意一条直线后的开子集，$f$依然是包含态射。同样，$X$和$Y$的维数都是2，$f$是单射，但$f$的像只是$Y$的一个开真子集，绝非整个$Y$。

当然，如果给态射加上额外的限制条件，比如要求$f$是有限态射，那情况就不一样了：有限态射是闭映射（像集是闭子集），而在整概形中，维数和 ambient 空间相同的闭子集只能是原空间本身（整概形的闭真子集的维数必然严格小于原空间），这时候单射且同维数的有限态射就必然是满射。但题目里只要求是一般的代数簇态射，没有有限性的限制，所以上面的反例都是完全有效的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathfan24