关于偶函数的加权差商平方积分与导数平方积分的不等式证明问询

嗨，各位同行，我正在尝试证明一个涉及偶函数的加权积分不等式，目前完成了部分推导步骤，想请大家帮忙评估下这个思路是否可行，以及后续该如何结合偶函数的条件推进。

我要证明的结论如下：
若$f$是偶函数，则对于任意非负整数$m\geq0$，不等式
$$\sup_{a\in\mathbb R}\int_{-\infty}^{\infty} x^{{2m}\Bigg|\frac{f(x+\frac{a}{2})-f(x-\frac{a}{2})}{a}\Bigg|}2,dx\lesssim\int_{-\infty}^\infty x^{2m}|f'(x)|2,dx$$
成立。

以下是我目前的证明尝试：
首先，我将差商表达式转化为积分形式：
$$\int_{-\infty}^{\infty} x^{{2m}\Bigg|\frac{f(x+\frac{a}{2})-f(x-\frac{a}{2})}{a}\Bigg|}2,dx=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2m}}{a2}\Bigg|\int_{u=-\frac{1}{2}}^{{\frac{1}{2}}\partial_u(f(x+ua)),du\Bigg|}2,dx$$
接着利用链式法则，将偏导数替换为$f$的一阶导数：
$$=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2m}}{a2}\Bigg|\int_{u=-\frac{1}{2}}^{{\frac{1}{2}}af'(x+ua),du\Bigg|}2,dx.$$
现在我打算用闵可夫斯基积分不等式继续推导，但到这里我发现还没用到$f$是偶函数这个关键条件，想请教下几个问题：

1. 前面的推导步骤有没有逻辑漏洞？
2. 后续该如何结合偶函数的性质来完成证明？
3. 有没有更合适的不等式工具可以替代闵可夫斯基不等式，让推导更顺畅？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者schrodingerscat