关于n维球面与n维球体上随机点对期望距离关系式S[n+2]=(n-1)/(n-2)B[n]的理论依据问询

各位Stack Overflow的大佬们好，我最近在研究高维空间里随机点对的期望距离问题，有个有意思的发现一直没琢磨透，特意来请教大家：

先跟大家明确下我用到的两个定义：

• 我把$S[n]$定义为单位n维球面上，均匀分布的两个随机点之间的期望距离
• 把$B[n]$定义为单位n维球体内，均匀分布的两个随机点之间的期望距离

计算过程中我偶然注意到一个特别简洁的关系式：$S[n+2] = \frac{n-1}{n-2} B[n]$。这个结果看起来非常规整，但我暂时没搞清楚它背后的几何或者概率学上的原因。有没有大佬能从直观或者严谨推导的角度，解释下这个等式为什么会成立呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user967210