为什么去倾斜函子保持有限 étale 扩张的次数？

最近我在啃Bhatt关于完美oid空间的讲义，里面定理6.2.10专门讲了去倾斜（untilting）函子——它是从有限étale $K^\flat$扩张范畴，映射到完美oid域$K$的有限étale扩张范畴的。Bhatt还给了这个函子的具体表达式：
$$S^#=W(S\circ)\otimes_{A_{inf}(K^\circ)}K\circ\left[\frac{1}{\pi}\right]$$

这个函子有个关键性质：它能把Galois扩张映成Galois扩张。要证明这点，核心只需要两个前提：一是它保持扩张次数，二是它是**全忠实（fully faithful）**的。这里得先提一句，公式里的$W(S^{\circ)$不是咱们平时用的普通Witt向量，而是$S}\circ$沿着同态$A_{inf}(K^\circ)\to K^\flat\circ$的唯一形变。

那回到核心问题：为什么这个去倾斜函子能保持有限étale扩张的次数？咱们拆开来分析：

• 首先，对于$K^{\flat$的有限étale扩张$S$，它的赋值环$S}\circ$是$K^\flat\circ$的有限étale扩张——在完美oid的框架下，有限étale域扩张和赋值环的有限étale扩张是一一对应的，这个对应关系很靠谱。
• 接着看$W(S^{\circ)$：作为$A_{inf}(K}\circ)$上的模，它的秩恰好等于$S^{\circ$作为$K}\flat^{\circ$-模的次数。这是这个“唯一形变”的Witt向量的基本性质——形变过程不会改变模的秩，相当于把$S}\circ$的结构“提升”到$A_{inf}(K^\circ)$上，次数信息完全保留。
• 最后做张量积操作：$K^{\circ\left[\frac{1}{\pi}\right]$其实就是完美oid域$K$本身，而$A_{inf}(K}\circ)$到$K$的同态是通过模掉$\theta$（对应$\pi$的那个元素）实现的。因为$W(S^{\circ)$是$A_{inf}(K}\circ)$上的自由模（有限étale扩张在这类环上对应自由模），张量积之后的$K$-向量空间维数和原来的秩是一样的——换句话说，$S^{#$作为$K$的扩张次数，正好等于$S$作为$K}\flat$的扩张次数，次数就这么被保持下来了。

再补充一句：结合函子的全忠实性（态射层面是双射），次数保持就足够推出Galois扩张被保持——毕竟Galois扩张的本质就是有限étale扩张中自同构群的阶等于扩张次数，次数对应上了，态射又一一对应，自同构群的阶自然也对应，Galois性也就保留了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pambra iskra