关于利用变分法思路求解L^p范数下某不等式最小常数的技术咨询

设常数( C )满足：
$$\forall p \in [1,\infty),, \forall x,y \in \mathbb{R}^n,\text{s.t.}\Vert x\Vert_p=\Vert y\Vert_p ,,\text{and}, \forall \theta \in [0,1], , \\Vert x-y\Vert_p\leq C\Vert \theta x-(1-\theta)y\Vert_p. $$
求( C )的最小值。

补充说明：上述问题中的( L^p )范数定义为
$$\Vert x\Vert_p:=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|p\right)^{\frac1p},\text{其中 } x \in \mathbb{R}^n, x = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$$

我已经知道这个问题的答案是( 4 )，但完全搞不懂推导过程，听说需要用到泛函分析的相关技巧。我自己先尝试了( p=2 )的特殊情况，这部分还算简单：把式子中的( y )替换成( -y )，就能得到
$$\Vert x+y\Vert_p\leq C\Vert \theta x+(1-\theta)y\Vert_p,$$
不过到这里之后，我就不知道该怎么继续往下推导了...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tys