利用生成函数证明指定组合恒等式的技术问询

嘿，我来帮你一步步梳理用生成函数证明这个组合恒等式的思路～

我们要证的恒等式是：
$$\sum_{k=r}^{2n-1} k2^k \binom{2n-k-1}{n-1} = n2^r \binom{2n-r}{n}$$

首先咱们先做个换元调整求和范围，把原求和里的$k$换成$k = r + t$（为了简化后续书写，这里直接把新变量也记作$k$），这样求和范围就从$k=r$到$2n-1$变成了$k=0$到$2n-1-r$，代入原式后求和式就变成：
$$\sum_{k=0}^{2n-1-r} (r+k) 2^{r+k} \binom{2n-(r+k)-1}{n-1}$$

到这一步就能看出来，这个求和其实等价于找某个生成函数乘积中$z^{2n-1-r}$项的系数——这正是生成函数方法处理组合求和的核心思路。

另外还有个值得留意的细节：二项式系数$\binom{2n-(r+k)-1}{n-1}$的下指标是$n-1$，这部分是个小难点，我们可以先从二项式系数对应的生成函数性质入手，逐步拆解这个项的生成函数表达式，再和$(r+k)2^{r+k}$对应的生成函数做卷积，就能一步步推导到目标等式了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Petro Kolosov