关于伪度量的现实实例及度量公理弱化后相关情况的技术问询

各位好，先跟大家回顾下基础概念——每个搞数学的都知道，给定集合$X$，度量是一个满足以下三条性质的函数$d:X\times X \to \mathbb{R}$：

• (i) $d(x,y)=0 \iff x=y$（仅当两点相同时距离为0）
• (ii) $d(x,y) = d(y,x)$（对称性）
• (iii) $d(x,y)\leq d(x,z) + d(z,y)$（三角不等式）

从这三条性质其实很容易推导出，对任意$x,y \in X$，都有$d(x,y)\geq 0$。

如果我们把第一条性质替换成：$d(x,x)=0 \quad \forall x \in X $，也就是允许这个函数$d$不需要区分不同的点（不同点的距离也可能为0），那这个$d$就被称为伪度量。

最近我一直在琢磨：如果从度量的定义里去掉某条（或某几条）性质，会衍生出哪些有意思的结构？有没有现实生活中的实例能体现这些弱化后的“距离”概念？比如我已经能想到一些非对称距离的现实场景，但还想听听大家的更多见解和例子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user210089