如何利用矩阵A的Jordan标准形与Jordan基求解T-不变子空间

首先咱们先明确手头的已知信息：

• 线性空间 $V=\Bbb R^4$，线性变换 $T$ 在标准基下的矩阵是 $A$，它的特征多项式是 $C_T(t)=(t-2)^4$，极小多项式是 $M_T(t)=(t-2)^3$
• 我们已经找到了Jordan基 $\beta={(2,1,1,1),(1,2,0,0),(1,0,0,1),(2,1,0,1)}$，对应的Jordan标准形是：
  $$J_A=\begin{bmatrix}2& 0&0 & 0\1& 2&0 &0\ 0 & 1&2 & 0\ 0 & 0&0 & 2\end{bmatrix}$$

接下来我一步步给你讲怎么用这些信息找所有的$T$-不变子空间：

第一步：把空间分解为循环子空间的直和 #

Jordan标准形的核心作用，就是把整个空间拆成**$T$-不变的循环子空间的直和**。看咱们的$J_A$，它由两个Jordan块组成：一个3阶块$J_3(2)$，一个1阶块$J_1(2)$。对应到Jordan基上：

• 3阶块对应的循环子空间 $V_1 = \text{span}{\beta_1, \beta_2, \beta_3}$（$\beta_1=(2,1,1,1), \beta_2=(1,2,0,0), \beta_3=(1,0,0,1)$）
• 1阶块对应的循环子空间 $V_2 = \text{span}{\beta_4}$（$\beta_4=(2,1,0,1)$）

这两个子空间都是$T$-不变的，而且$V = V_1 \oplus V_2$（直和）。根据线性变换不变子空间的性质：$V$的任何$T$-不变子空间$W$，都可以写成$W=(W\cap V_1)\oplus(W\cap V_2)$，其中$W\cap V_1$是$V_1$的$T$-不变子空间，$W\cap V_2$是$V_2$的$T$-不变子空间。所以咱们只需要分别找出$V_1$和$V_2$的所有不变子空间，再组合起来就行。

第二步：找循环子空间$V_1$的所有$T$-不变子空间 #

先看$T$在$V_1$上的作用（由Jordan块$J_3(2)$决定）：

• $T\beta_1 = 2\beta_1 + \beta_2$
• $T\beta_2 = 2\beta_2 + \beta_3$
• $T\beta_3 = 2\beta_3$

换句话说，$(T-2I)\beta_1 = \beta_2$，$(T-2I)\beta_2 = \beta_3$，$(T-2I)\beta_3 = 0$。这说明$V_1$是由$\beta_1$生成的3阶循环子空间（满足$(T-2I)^{2\beta_1\neq0$，$(T-2I)}3\beta_1=0$）。

对于这种循环子空间，它的$T$-不变子空间是嵌套式的，所有不变子空间如下：

• 零空间：${0}$
• 1维不变子空间：$\text{span}{\beta_3}$（因为$T\beta_3=2\beta_3$，显然在这个子空间里）
• 2维不变子空间：$\text{span}{\beta_2, \beta_3}$（$T\beta_2=2\beta_2+\beta_3$，结果仍在这个子空间里；$T\beta_3$也在里面）
• $V_1$本身：$\text{span}{\beta_1, \beta_2, \beta_3}$

第三步：找循环子空间$V_2$的所有$T$-不变子空间 #

$V_2$是1维子空间，$T\beta_4=2\beta_4$，所以它的$T$-不变子空间只有两个：

• 零空间：${0}$
• $V_2$本身：$\text{span}{\beta_4}$

第四步：组合所有可能的不变子空间 #

根据第一步的直和性质，把$V_1$和$V_2$的不变子空间两两组合，就得到$V$的所有$T$-不变子空间：

• ${0} = {0} \oplus {0}$
• $\text{span}{\beta_3}$
• $\text{span}{\beta_2, \beta_3}$
• $V_1 = \text{span}{\beta_1, \beta_2, \beta_3}$
• $\text{span}{\beta_4}$
• $\text{span}{\beta_3, \beta_4}$
• $\text{span}{\beta_2, \beta_3, \beta_4}$
• $V = V_1 \oplus V_2$

如果需要把这些子空间用标准基表示，只需要把Jordan基向量代入就行。比如$\text{span}{\beta_3}$就是所有形如$(a,0,0,a)$的向量（$a\in\Bbb R$），$\text{span}{\beta_2, \beta_3}$就是所有$(b+a, 2b, 0, a)$的向量（$a,b\in\Bbb R$），以此类推。

关键总结 #

Jordan标准形帮我们把复杂的线性变换拆解成简单的循环变换，每个循环子空间的不变子空间结构非常清晰（嵌套的子空间链）。而整个空间的不变子空间就是这些循环子空间的不变子空间的直和组合——这就是Jordan标准形在找不变子空间时的核心价值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者James A.