同构射影群拉回的矩阵群是否必同构？——SU(n)到PU(n)投影子群的特例问询

咱们先把问题拆解得明明白白：
设$\pi: SU(n) \to PU(n)$是标准投影映射。现在有个核心疑问：如果$H_1$和$H_2$是$PU(n)$里的同构子群，那它们在$SU(n)$中的原像$\pi^{{-1}[H_1]$和$\pi}{-1}[H_2]$，是不是一定也同构？

目前我们能确定的是，当$n=2$时这个结论是成立的——因为$PU(2) \cong SO(3)$，而且$SO(3)$中的二面体子群$D_n$，和$SU(2)$里对应的二进制二面体子群$BD_n$是一一对应的，不存在“同构的$SO(3)$子群对应不同构的$SU(2)$原像”的情况。另外像四面体群$A_4$、八面体群...（原文此处内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ian Gershon Teixeira