实对称半正定矩阵不等式简化形式的推广问题

嘿，咱们来琢磨一个实对称半正定矩阵相关的不等式问题哈。假设有三个实对称半正定矩阵$A, B, X$，满足下面这个不等式：
$$
X \preceq \sqrt{A} (\sqrt{A} B \sqrt{A} + I)^{-1} \sqrt{A}
$$
这里的$\sqrt{\cdot}$指的是半正定平方根哦。

当$A$和$B$都是非奇异的（也就是正定矩阵）时，上面这个不等式可以等价转化成一个看起来更清爽的分块矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix} X & X \ X & X \end{pmatrix} \preceq
\begin{pmatrix} A & 0 \ 0 & B^{-1}\end{pmatrix}. \qquad \mbox{$(*)$}
$$
（证明过程我放在下面啦）

问题： 如果$A$和$B$只是半正定矩阵（可能奇异，不一定正定），那有没有类似的“更简洁”的等价形式呢？

$()$式的证明：*
设$...$（注：原证明内容未完整给出）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Drew Brady