单位质量粒子在指定势场中运动的定性特征分析及相关问题求解问询

大家好，我现在在啃经典力学里的势场运动定性分析问题，卡壳了想请教下各位大佬！题目要求是：

分析单位质量粒子在以下两个势场中运动的定性特征，针对每个势场需要完成三件事：

1. 绘制势函数的图像
2. 绘制相图
3. 给出所有存在的**分界线（separatrix）**的方程

待分析的两个势场 #

• a) $V(x)=x^2(x2-1)^2$
• b) $V(x)=x(x^2-1)2$

我目前完成的部分推导（针对a)势场） #

我先从势场的零点入手分析：
$V(x)=x^2(x2-1)^2=0 \implies x=0, \pm 1$

之后我把势函数展开成了多项式形式：$V(x)=x^6-2x4+x^2$，这里还闹了个小乌龙——一开始误以为这是个奇函数，结果展开后一眼就看出是偶函数（$V(-x)=V(x)$），已经及时纠正过来了😅

接下来我求了势场的极值点，对$V(x)$求导得到：
$\frac{dV}{dx}=6x^5-8x3+2x=0$
解这个方程得到临界点为：$x=-1, -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1$

我目前卡壳的地方 #

1. 拿到这些临界点后，怎么判断它们是稳定平衡点还是不稳定平衡点？
2. 基于现有的导数、零点信息，该怎么一步步画出势函数图像和相图？
3. 分界线的方程该怎么推导出来？
4. 至于b)势场的分析，我还没找到切入点，不知道该从哪里开始？

我本来想用Wolfram Alpha辅助完成剩下的部分，但还没梳理清楚完整的逻辑链条，想请各位大佬指点下后续的推进方向，或者帮我补充完整推导过程？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Purity