关于指数函数无穷乘积公式的误差项问询

我来帮你梳理这个无穷乘积对应的误差项相关内容哈～

首先，你给出的无穷乘积递推形式如下：
$$\prod_{k=0}^{na_k=\left(1\pm\frac{x}{2}n}\right)^{\pm2n}$$

分情况的递推定义 #

• 当 $x \geq 0$ 时：
  $$a_0=1+x,\qquad a_{n+1}=\left(1+\frac{x^2}{2{n+2}(x+2^n)}\right){2^n}$$
• 当 $x \leq 0$ 时：
  $$a_0=\frac1{1-x},\qquad a_{n+1}=\left(1-\frac{x^2}{(2{n+1}-x)^2}\right){2^n}$$

误差项的数值实验 #

为了直观观测误差项的表现，我们可以用Python的mpmath库做高精度数值计算，代码如下：

import mpmath

def exp_err(x, ipow2):
    n = mpmath.mpf(2)**ipow2
    return mpmath.fabs(mpmath.exp(x) - (1 + x/n)**n)

for x in [3, 7, 15, 31, 63]:
    for iprec, ipow2 in [(64, 32), (128, 64), (256, 128)]:
        mpmath.mp.prec = iprec
        err = exp_err(mpmath.mpf(x), ipow2)
        flog2 = mpmath.log(err, 2)
        print(f"# For x={x:,} and n=2**{ipow2}, the error term is 2**{round(flog2, 8)}")

运行后得到的部分输出结果：

For x=3 and n=232, the error term is 2-25.50198988 #

For x=3 and n=264, the error term is 2-57.50198988 #

For x=3 ... #

从这些数值结果能看出，当n取2的幂次增大时，误差项在对数尺度上呈近似线性的减小趋势，大致符合 $\mathcal{O}(2^{-2n})$ 量级的收敛速率（比如x=3时，n从$2^{32}$到$2{64}$，误差的log₂值从-25.5左右降到-57.5左右，接近2倍的对应关系）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Axl