用最速下降法求解函数Γ(z+1,z)的首项渐近行为

我最近在试着用最速下降法求解一个积分，目的是找出当$|\arg z| < \pi$时，函数$f(z) = \Gamma(z + 1, z)$的首项渐近行为。对应的积分形式是：
$$\Gamma(a,z)=\int_{z}^\infty e^{-t}e{(a-1)\log t-t} dt,$$

我的思路是先把被积函数整理成$\exp(a g(t))$的形式，这里我定义了$g(t)=\log t+\frac{\log t}{a}-\frac{t}{a}$。接下来为了找到鞍点，我对$g(t)$求导并令导数等于0：
$$g'(t)=\frac{1}{t}+\frac{1}{at}-\frac{1}{a}=0$$

解这个方程得到的鞍点是$t_o=\frac{1}{a-1}$。现在我已经能写出鞍点附近的泰勒展开项了，但目前卡在了相位角$\phi$的确定上，我知道需要通过令$a=e^{i\theta}$这类方式来推导，但还没理清具体的步骤。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jpmg