求解满足特定函数方程的函数求和式∑ₙ=1¹⁰⁰f(n/101)

嘿，我来帮你搞定这个问题！首先你的观察完全正确——满足这个函数方程的$f$确实是线性函数$f(x)=kx$，我们一步步捋清楚，最后就能轻松算出求和的结果了。

问题回顾 #

已知对所有实数$a,b$，函数$f$满足：
$$f(a^2 - b^2) = (a - b)(f(a) + f(b))$$
且$f(1) = \frac{1}{101}$，求$\sum_{n=1}^{100}f\left(\frac{n}{101}\right)$的值。

你之前推导出的$f(2n+1)=f(n)+f(n+1)$本身没问题，但我们换个方向推导，先证明$f$是线性函数，一切就迎刃而解了。

第一步：先证明$f$是奇函数，且$f(0)=0$ #

• 令$a=b$，代入原方程，左边是$f(a^2 -a^2)=f(0)$，右边是$(a-a)(f(a)+f(a))=0$，所以**$f(0)=0$**。
• 再令$a=0$，原方程变成$f(-b^2)=(0 - b)(f(0)+f(b))$，因为$f(0)=0$，所以$f(-b^2)=-b f(b)$。
• 对于任意正实数$x$，令$b=\sqrt{x}$，则$f(-x)=-\sqrt{x}f(\sqrt{x})$。另一方面，令$a=\sqrt{x},b=0$，代入原方程得$f(x)=\sqrt{x}f(\sqrt{x})$，把这个代入上式，就得到$f(-x)=-f(x)$，所以$f$是奇函数。

第二步：证明$f$是线性函数$f(x)=kx$（先从有理数入手） #

我们只需要搞定有理数的情况就够了，因为求和式里的$\frac{n}{101}$都是有理数：

1. 正整数的情况：
   用数学归纳法证明$f(n)=n f(1)$：

   • 基例：$n=1$时，$f(1)=1\cdot f(1)$，成立；$n=0$时$f(0)=0=0\cdot f(1)$，也成立。
   • 归纳假设：假设对所有$\leq k$的正整数$m$，都有$f(m)=m f(1)$。
   • 当$k+1$是奇数时，$k+1=2t+1$，用你之前推的式子$f(2t+1)=f(t)+f(t+1)$，代入归纳假设得$f(2t+1)=t f(1)+(t+1)f(1)=(2t+1)f(1)$，成立。
   • 当$k+1$是偶数时，$k+1=2t$，我们用原方程令$a=t+1,b=t-1$，左边是$f((t+1)^2-(t-1)2)=f(4t)$，右边是$(t+1)-(t-1)=2[f(t+1)+f(t-1)]$。根据归纳假设，$f(t+1)=(t+1)f(1)$，$f(t-1)=(t-1)f(1)$，所以右边$=2[(t+1)+(t-1)]f(1)=4t f(1)$，即$f(4t)=4t f(1)$。再看$f((2t)^2)=f(4t2)$，一方面令$a=2t,b=0$得$f(4t^2)=2t f(2t)$；另一方面$4t^{2$是正整数，由归纳假设$f(4t}2)=4t^2 f(1)$，所以$2t f(2t)=4t^2 f(1)$，两边除以$2t$（$t\neq0$）得$f(2t)=2t f(1)$，成立。
     所以所有正整数$n$都满足$f(n)=n f(1)$。

2. 有理数的情况：
   对任意正有理数$\frac{m}{k}$（$m,k$为正整数），我们先证明$f\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{k}f(1)$：
   令$x=\frac{1}{k}$，则$kx=1$。用归纳法可以证明对任意正整数$t$，$f(tx)=t f(x)$（推导过程和整数情况类似，这里就不啰嗦了）。因为$kx=1$，所以$f(1)=f(kx)=k f(x)$，即$f(x)=\frac{1}{k}f(1)$，也就是$f\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{k}f(1)$。
   那$f\left(\frac{m}{k}\right)=f\left(m\cdot\frac{1}{k}\right)=m f\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{m}{k}f(1)$，结合奇函数性质，所有有理数$q$都满足$f(q)=q f(1)$。

第三步：计算求和式 #

已知$f(1)=\frac{1}{101}$，所以对任意有理数$q$，$f(q)=\frac{q}{101}$。那求和式就变成：
$$\sum_{n=1}^{{100}f\left(\frac{n}{101}\right)=\sum_{n=1}}{100}\frac{n}{101\times101}=\frac{1}{101^2}\sum_{n=1}{100}n$$
我们知道$\sum_{n=1}^{100}n=\frac{100\times101}{2}=5050$，代入得：
$$\frac{1}{101^2}\times5050=\frac{5050}{10201}=\frac{50}{101}$$
（因为$5050=50\times101$，分子分母约掉一个101就得到$\frac{50}{101}$）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Suprativ Mondal