关于线性映射Tₐ像空间中矩阵最大秩的证明问题

嘿，我来帮你把这个问题的证明思路理清楚～

首先明确问题的前提条件：
给定$n\ge m$，固定实矩阵$A \in \mathbb{R}^{m\times n}$，定义线性映射$T_A:\mathbb{R}^{m\times n}\to \mathbb{R}^{m\times m}$，映射规则是$T_A(B)=AB^{T$。已知$\text{rank}(A)=r$，我们要证明：$T_A$的像空间$\text{Im}(T_A)$中，矩阵的最大秩恰好是$r$——核心就是找到一个合适的$B$，使得$\text{rank}(AB}T)=r$，同时说明像空间里的矩阵秩不可能超过$r$。

咱们分步骤来：

第一步：先说明像空间中矩阵的秩不可能超过$r$ #

根据矩阵秩的基本不等式：对于任意两个可乘矩阵$X$和$Y$，都有$\text{rank}(XY)\le \min{\text{rank}(X),\text{rank}(Y)}$。
这里$AB^{T$是$A$和$B}T$的乘积，所以$\text{rank}(AB^T)\le \text{rank}(A)=r$。也就是说，像空间里的所有矩阵，秩都不会超过$r$。

第二步：找到一个$B$，使得$\text{rank}(AB^T)=r$ #

这里我们可以利用矩阵的秩分解来构造$B$：
因为$\text{rank}(A)=r$，所以我们可以把$A$分解成$A = L \cdot R$，其中$L\in\mathbb{R}^{m\times r}$是列满秩矩阵（列向量线性无关，秩为$r$），$R\in\mathbb{R}^{r\times n}$是行满秩矩阵（行向量线性无关，秩为$r$）。

接下来构造$B$：取$B$的前$r$行等于$R$，后面的$m-r$行全为0（这样$B$就是符合要求的$m\times n$矩阵），对应的$B^{T$就是前$r$列为$R}T$、后$m-r$列为全0的$n\times m$矩阵。

现在计算$AB^T$：
$$AB^T = (L R) \cdot \begin{pmatrix} R^T \ 0 \end{pmatrix} = L \cdot (R R^T)$$

因为$R$是行满秩的$r\times n$矩阵，所以$R R^T$是$r\times r$的可逆矩阵（行满秩矩阵的转置乘自身是正定矩阵，必然可逆，秩为$r$）。而$L$是列满秩的$m\times r$矩阵，列满秩矩阵乘可逆矩阵后依然是列满秩，所以$\text{rank}(L \cdot R R^T) = r$。

这样我们就找到了满足条件的$B$，说明像空间中存在秩为$r$的矩阵。

第三步：结合特殊情况验证 #

你提到当$r=m$时，$A$是行满秩矩阵，此时$T_A$是满射——这其实是上面结论的特例：当$r=m$，$A$本身行满秩，我们取$B^{T$为可逆矩阵，$AB}T$就是可逆矩阵（秩为$m=r$），而满射意味着像空间是整个$\mathbb{R}^{m\times m}$，自然最大秩是$m$，和我们的结论一致。

综上，$\text{Im}(T_A)$中矩阵的最大秩就是$r$，和$A$的秩相等。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathguest