如何证明满足闭函数性质与紧原像条件的拓扑空间X是紧空间？

别担心，这个证明其实可以通过紧性的核心等价性质来入手，我给你两种清晰的思路，帮你理清楚整个逻辑～

方法一：利用闭集的有限交性质 #

我们知道，一个拓扑空间是紧的，等价于任意一族具有有限交性质的闭子集，它们的交集非空。我们就用这个等价条件来证：

1. 假设我们有X中的一族闭子集${F_i \mid i \in I}$，满足任意有限个$F_i$的交集都非空（也就是具有有限交性质）。我们需要证明$\bigcap_{i \in I} F_i \neq \emptyset$。
2. 因为$f$是闭函数（题目里的性质2），所以每个$f(F_i)$都是Y中的闭子集。现在看这族闭集${f(F_i) \mid i \in I}$：任意有限个$f(F_{i_1}), ..., f(F_{i_n})$的交集肯定非空——毕竟取$x \in \bigcap_{k=1}^n F_{i_k}$，那$f(x)$就属于这个交集。
3. Y是紧空间，根据紧空间的闭集有限交性质，$\bigcap_{i \in I} f(F_i) \neq \emptyset$，我们取一个$y$属于这个交集。
4. 题目里的性质1告诉我们，$K = f^{-1}(y)$是X中的紧集。现在看$K$和每个$F_i$的交集$K \cap F_i$：这是紧集$K$中的闭子集（因为$F_i$是X的闭集，子空间拓扑下闭子集的交集也是闭的）。
5. 这族${K \cap F_i \mid i \in I}$也具有有限交性质：任意有限个$K \cap F_{i_1}, ..., K \cap F_{i_n}$的交集是$K \cap \bigcap_{k=1}^n F_{i_k}$，而$y \in \bigcap_{k=1}^n f(F_{i_k})$说明存在$x \in \bigcap_{k=1}^n F_{i_k}$满足$f(x)=y$，也就是$x$属于这个交集，所以交集非空。
6. 因为$K$是紧的，它的闭子集族满足有限交性质的话，整个交集就非空，也就是$\bigcap_{i \in I} (K \cap F_i) \neq \emptyset$。而这个交集就是$K \cap \bigcap_{i \in I} F_i$，自然$\bigcap_{i \in I} F_i$也非空。

这样就满足了闭集有限交性质的条件，所以X是紧的。

方法二：利用开覆盖的定义 #

从紧性的原始定义（任意开覆盖有有限子覆盖）出发，步骤也很清晰：

1. 假设${U_i \mid i \in I}$是X的任意一个开覆盖。对于每个$y \in Y$，原像$K_y = f^{-1}(y)$是紧集，所以它能被${U_i}$的某个有限子族覆盖，记这个有限子族的并为$U(y)$——这是X中的开集，而且$K_y \subset U(y)$。
2. $X \setminus U(y)$是X的闭集，因为$f$是闭函数，所以$f(X \setminus U(y))$是Y中的闭集，那么$Y \setminus f(X \setminus U(y))$就是Y中的开集。而且$y$一定属于这个开集：如果$y$在$f(X \setminus U(y))$里，就存在$x \in X \setminus U(y)$使得$f(x)=y$，但$x$属于$K_y$却不在$U(y)$里，和$K_y \subset U(y)$矛盾。
3. 现在${Y \setminus f(X \setminus U(y)) \mid y \in Y}$是Y的一个开覆盖，而Y是紧的，所以存在有限个$y_1, ..., y_m$，使得$\bigcup_{k=1}^m \left(Y \setminus f(X \setminus U(y_k))\right) = Y$。
4. 我们看对应的$U(y_1), ..., U(y_m)$，它们的并集就是X：任取$x \in X$，令$y=f(x)$，那么$y$一定属于某个$Y \setminus f(X \setminus U(y_k))$，这意味着$x \notin X \setminus U(y_k)$，也就是$x \in U(y_k)$。
5. 每个$U(y_k)$都是${U_i}$的有限子并，所以$\bigcup_{k=1}^m U(y_k)$就是${U_i}$的一个有限子覆盖，满足紧性的定义。

这样就证明了X是紧空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vshp11